סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי – בגרות קיץ 2021 מועד מיוחדסדרות 571 · שיעור 38
קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 2 · סעיפים א , ב
שיעור 38: סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי – בגרות קיץ 2021 מועד מיוחד
פרק 8 – מה נוסף ב־5 יחידות (סעיפים מבגרויות 571)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הפרש סכום האי־זוגיים והזוגיים
3סעיף ב – הביטוי T
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה חשבונית שיש בה 2n + 1 איברים.
א. הוכיחו כי ההפרש בין סכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה ובין סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה שווה לאיבר האמצעי בסדרה.
ב. נסמן ב־T את ההפרש בין סכום n האיברים האחרונים בסדרה ובין סכום n האיברים הראשונים בסדרה.
הביעו את T באמצעות n ובאמצעות הפרש הסדרה d.
סעיף א – הפרש סכום האי־זוגיים והזוגיים
האיברים: a1 , a2 , … , a2n+1. במקומות האי־זוגיים יש n + 1 איברים, ובמקומות הזוגיים n איברים. האיבר האמצעי הוא an+1.
נכתוב את ההפרש ונקבץ כל איבר זוגי עם האיבר האי־זוגי שאחריו:
(a1 + a3 + … + a2n+1)
− (a2 + a4 + … + a2n)
= a1 + (a3 − a2) + (a5 − a4) + …
+ (a2n+1 − a2n)
סעיף א – הפרש סכום האי־זוגיים והזוגיים · המשך
+ (a2n+1 − a2n)
כל סוגריים הם הפרש בין איבר לאיבר שלפניו, כלומר d. יש n סוגריים:
📐 נוסחה: סדרה חשבונית
= a1 + nd
= an+1
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבונית
ההפרש שווה לאיבר האמצעי an+1.
✅ פתרון סופי: הוכח
📐 נוסחה: סדרה חשבונית
ak+1 − ak = d
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ב – הביטוי T
n האיברים הראשונים: a1 , … , an. n האיברים האחרונים: an+2 , … , a2n+1.
נתאים לכל איבר מהראשונים את האיבר שנמצא n + 1 מקומות אחריו:
ak+n+1 − ak = (n + 1)d
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבונית
T = (an+2 − a1) + (an+3 − a2) + …
+ (a2n+1 − an)
יש n הפרשים, וכל אחד מהם (n + 1)d:
📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ב – הביטוי T · המשך
יש n הפרשים, וכל אחד מהם (n + 1)d:
T = n(n + 1)d
✅ פתרון סופי: T = n(n + 1)d
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכח
סעיף ב
T = n(n + 1)d
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא